A 组 · 关系辨析题（多选）
A1.
平行板电容器充电后断开电源（电荷 $Q$ 保持不变），再将间距 $d$ 增大一倍，其余不变。则（多选）
A. 电容 $C$ 变为原来的一半
B. 板间场强 $E$ 保持不变
C. 两板电压 $U$ 变为原来的 2 倍
D. 电容器储存的能量变为原来的一半
对比思考：若改为始终接电源（$U$ 不变）增大 $d$，上面哪些会不同？
显示 A1 答案
答案：ABC 断电源 → 电荷 $Q$ 被钳制。
• A 对：$C=\dfrac{\varepsilon S}{4\pi kd}$，$d$ 加倍 → $C$ 减半。
• B 对：$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 S}$，$Q,S$ 不变 → $E$ 与 $d$ 无关，不变。
• C 对：$U=Ed$，$E$ 不变、$d$ 加倍 → $U$ 加倍。
• D 错：$W=\dfrac{Q^2}{2C}$，$C$ 减半 → $W$ 加倍。多出的能量来自外力拉开两板做的功。
对比：接电源（$U$ 不变）时 $E=\dfrac Ud$ 减半、$Q$ 减半、$W$ 减半。断电源看 $\sigma$，接电源看 $U$。
A2.
带电粒子在匀强磁场做匀速圆周运动。若只把速率增大为原来 2 倍（电荷、质量、磁场不变），则（多选）
A. 轨道半径变为 2 倍
B. 周期变为 2 倍
C. 动能变为 4 倍
D. 每秒转的圈数（频率）不变
显示 A2 答案
答案：ACD $r=\dfrac{mv}{qB}$、$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$。
• A 对：$r\propto v$ → 加倍。
• B 错 / D 对：$T$、$f$ 与 $v$ 无关 → 不变。
• C 对：$E_k=\dfrac12mv^2\propto v^2$ → 4 倍。
A3.
正交匀强电场 $E$ 与磁场 $B$ 构成速度选择器，带电粒子垂直射入，恰好匀速直线通过。则（多选）
A. 能通过的速度 $v=\dfrac{E}{B}$，与电荷量、质量都无关
B. 若 $E$ 增大一倍，能通过的速度变为 2 倍
C. 若 $B$ 增大一倍，能通过的速度变为一半
D. 速度大于 $\dfrac{E}{B}$ 的粒子，合力方向与电场力方向相同
显示 A3 答案
答案：ABC 平衡 $qE=qvB\Rightarrow v=\dfrac EB$。
• A 对：$q$ 约掉、与 $m$ 无关 → 只挑速度，不问种类。
• B 对：$v\propto E$ → 加倍；C 对：$v\propto\dfrac1B$ → 减半。
• D 错：$v>\dfrac EB$ 时磁场力 $qvB>qE$，合力沿磁场力方向，与电场力相反。
B 组 · 关系综合计算题
B1.（电场加速 + 磁场圆周 · 比荷关系）
质量 $m$、电荷 $q$ 的正粒子从静止经电压 $U$ 加速，垂直进入磁场 $B$ 做圆周运动，半径 $r$。
(1) 证明比荷 $\dfrac{q}{m}=\dfrac{2U}{B^2r^2}$
加速 $qU=\dfrac12mv^2$，圆周 $r=\dfrac{mv}{qB}$ 即 $v=\dfrac{qBr}{m}$，代入：$qU=\dfrac{q^2B^2r^2}{2m}\Rightarrow\boxed{\dfrac qm=\dfrac{2U}{B^2r^2}}$
(2) $U$ 增大一倍（同粒子、同 $B$），$r$ 如何变？
$r^2\propto U$ → $r\propto\sqrt U$，$U$ 加倍 → $r$ 变为 $\boxed{\sqrt2}$ 倍。
(3) 改用电荷 $2q$、质量 $4m$ 的粒子（同 $U$、同 $B$），$r$ 变几倍？
$r\propto\sqrt{\dfrac mq}$：$\dfrac{r'}{r}=\sqrt{\dfrac{4m/2q}{m/q}}=\boxed{\sqrt2}$ 倍。
关系链条
加速定 $v$ → 圆周定 $r$ → 消 $v$。核心 $r\propto\sqrt U$、$r\propto\sqrt{m/q}$。
B2.（电容器 · U 恒 vs Q 恒 全对照）
平行板电容器面积 $S$、间距 $d$，充到电压 $U_0$。把间距增大一倍。情形① 始终接电源（$U$ 不变）；情形② 先断电源（$Q$ 不变）。求两情形下 $C,Q,U,E,W$ 各变几倍，并解释 $E$ 为何不同。
显示对照表与解释
$C=\dfrac{\varepsilon S}{4\pi kd}$，两情形都
减半。
| 量 | ①（$U$ 不变） | ②（$Q$ 不变） |
|---|
| $C$ | 减半 | 减半 |
| $Q$ | 减半 | 不变 |
| $U$ | 不变 | 加倍 |
| $E$ | $\dfrac Ud$→减半 | $\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$→不变 |
| $W$ | 减半 | 加倍 |
$E$ 为何不同：①电压被钳制，$E=\dfrac Ud$ 随 $d$ 降；②电荷（$\sigma$）被钳制，$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$ 与 $d$ 无关。
题眼
先认清哪个量被钳制，再选对应的场强公式，其余全顺着推。
B3.（速度选择器 + 质谱仪 · 关系链）
粒子束（电荷均为 $q$）先经速度选择器（正交 $E$、$B_1$）选出速度 $v$，再进入只有磁场 $B_2$ 的区域做半圆打在感光板上。
(1) 求选出的速度 $v$
$\boxed{v=\dfrac{E}{B_1}}$
(2) 求在 $B_2$ 中的半径 $r$
$r=\dfrac{mv}{qB_2}=\boxed{\dfrac{mE}{qB_1B_2}}$
(3) 两同位素 $m_1,m_2$，求落点间距 $\Delta x$
落点距入口为直径 $2r$：$\boxed{\Delta x=|2r_1-2r_2|=\dfrac{2E}{qB_1B_2}|m_1-m_2|}$
关系链条
选速度（与质量无关）→ 半径 $r\propto m$ → 质量不同则落点分开。质谱仪按质量分离同位素的原理。
B4.（导轨 · 复合比例 + 功率）
水平光滑导轨间距 $L$、竖直磁场 $B$、末端电阻 $R$，棒质量 $m$、受恒定外力 $F$，从静止趋于最大速度。
(1) 求最大速度 $v_{max}$
$a=0$ 时 $F=\dfrac{B^2L^2v_{max}}{R}$：$\boxed{v_{max}=\dfrac{FR}{B^2L^2}}$
(2) $B$ 增大一倍，$v_{max}$ 变几倍？
$v_{max}\propto\dfrac{1}{B^2}$ → 变为 $\boxed{\dfrac14}$。
(3) $R$ 与 $B$ 同时增大一倍，$v_{max}$ 变几倍？
$v_{max}\propto\dfrac{R}{B^2}$，$R\times2$、$B^2\times4$ → $\boxed{\dfrac12}$。
(4) 求 $i_{max}$、功率 $P$，验证 $P=Fv_{max}$
$i_{max}=\dfrac{BLv_{max}}{R}=\dfrac{F}{BL}$；$P=i_{max}^2R=\dfrac{F^2R}{B^2L^2}$。验证 $Fv_{max}=\dfrac{F^2R}{B^2L^2}$ ✓（匀速时外力功率全变焦耳热）。
关系链条
$v_{max}\propto R/B^2$ 是复合比例；$P=Fv_{max}$ 体现"机械功率=电功率"。
B5.（LC 振荡 · 量间关系与缩放）
理想 LC 电路，电感 $L$、电容 $C$，最大电荷 $Q_0$。
(1) 写出最大电流 $I_0$、最大电压 $U_0$
$\boxed{I_0=\dfrac{Q_0}{\sqrt{LC}},\quad U_0=\dfrac{Q_0}{C}}$
(2) $Q_0$ 不变、$C\to4C$，$I_0,U_0,T$ 各变几倍？
$I_0\propto\dfrac{1}{\sqrt C}$ → $\dfrac12$；$U_0\propto\dfrac1C$ → $\dfrac14$；$T=2\pi\sqrt{LC}\propto\sqrt C$ → $2$ 倍。
(3) 电荷为 $\dfrac{Q_0}{2}$ 时电流为多少？
$i=I_0\sqrt{1-\left(\dfrac{q}{Q_0}\right)^2}=I_0\sqrt{1-\dfrac14}=\boxed{\dfrac{\sqrt3}{2}I_0}$
关系链条
$I_0\propto1/\sqrt C$、$U_0\propto1/C$、$T\propto\sqrt C$——同一个 $C$ 变化，三者按不同幂次联动。$q$-$i$ 是二次式（非线性）。
B6.（回旋加速器 · 关系挑战）
回旋加速器：粒子电荷 $q$、质量 $m$，磁场 $B$，最大回旋半径 $R$。
(1) 求周期 $T$、频率 $f$，并说明为何与速度、半径无关
$\boxed{T=\dfrac{2\pi m}{qB},\ f=\dfrac{qB}{2\pi m}}$。因 $r=\dfrac{mv}{qB}$ 随 $v$ 正比增大，恰好使 $T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi m}{qB}$ 恒定——转得快的圈也大。这是它能用固定频率持续加速的关键。
(2) 求最大动能 $E_k$
最大半径处 $v_{max}=\dfrac{qBR}{m}$：$E_k=\dfrac12mv_{max}^2=\boxed{\dfrac{q^2B^2R^2}{2m}}$
(3) $B$ 加倍、或质量加倍（$q$ 不变），$E_k$ 各变几倍？
$B$ 加倍：$E_k\propto B^2$ → $\boxed{4}$ 倍；质量加倍：$E_k\propto\dfrac1m$ → $\boxed{\dfrac12}$。
关系链条
周期与 $v$ 无关（可固定频率）→ 最大能量 $\propto B^2R^2/m$，磁场和尺寸决定能量上限。